Pola wektorowe

Gradient pola

Przy pomocy obliczania pochodnych cząstkowych ze skalarnego potencjału \( V \) otrzymaliśmy składowe wektora pola \( {\bf E } \) w dowolnym punkcie przestrzeni

(1)

\( {E_{{x}}=-{\frac{\partial V}{\partial x}},\;E_{{y}}=-{\frac{\partial V}{\partial y}},\;E_{{z}}=-{\frac{\partial V}{\partial z}}} \)

skąd

(2)

\( {{\bf E }={\bf i }E_{{x}}+{\bf j }E_{{y}}+{\bf k }E_{{z}}} \)

lub

(3)

\( {{\bf E }=-{\bf i }\frac{\partial V}{\partial x}-{\bf j }\frac{\partial V}{\partial y}-{\bf k }\frac{\partial V}{\partial z}} \)

To równanie można zapisać w postaci

(4)

\( {{\bf E }=-\left({\bf i }\frac{\partial }{\partial x}+{\bf j }\frac{\partial }{\partial y}+{\bf k }\frac{\partial }{\partial z}\right)V } \)

gdzie wyrażenie w nawiasie jest operatorem wektorowym nabla, który oznaczamy symbolem \( \nabla \) Nazywamy tę wielkość operatorem ponieważ nie ma ona konkretnego znaczenia dopóki nie działa (operuje) na jakąś funkcję taką jak na przykład potencjał \( V \) .

Operator ten ma istotne znaczenie, gdy mamy do czynienia z polami skalarnymi i wektorowymi. Pole skalarne to takie pole, która ma przypisaną wartość skalarną (liczbową) w każdym punkcie przestrzeni. Natomiast pole wektorowe ma w każdym punkcie przestrzeni przypisany wektor. Dla dowolnego pola skalarnego \( \varphi (x,y,z) \) można działając na nie operatorem \( \nabla \) utworzyć pole wektorowe, które nazywamy gradientem \( \varphi \)

(5)

\( {grad\varphi =\nabla \varphi } \)

Gradient potencjału, \( grad\varphi \) ma wartość równą maksymalnej zmianie potencjału \( \varphi \) (maksymalne nachylenie funkcji \( \varphi (x,y,z) \) ) i zwrot ( \( grad\varphi \) jest wektorem) przeciwny do kierunku, w którym zmiana jest \( \varphi \) największa.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Gradient pola